ما هي مجموعة الأعداد الحقيقيه ( ح ) ؟

 شرح درس حل المعادله * equation * من الدرجه الثانيه في متغير واحد من امتع

 الدروس في علم الجبر سوف نوفر شرح تفصيلي لهذا الدرس و سنتعرف علي خطوات

 الحل بالتفصيل و امثله توضيحيه وتعريف المعادله التربيعيه و تطبيقات علي حل المعادله

 من الدرجه الثانيه كل هذا واكثر في مدونة عباقرة الرياضيات

تعريف المعادله *equation* من الدرجه الثانيه في متغير واحد

المعادله من الدرجه الثانيه تكتب علي الصوره أ س2  +  ب س  +  ج = صفر  بشرط ان

 أ لايساوي الصفر وتسمي معادله تربيعيه * the quadratic equation * مثل 2س2 -

 س - 6 = صفر معادله تربيعيه في س و 25 ص - 10+ 15ص2 = صفر معادله تربيعيه

 في ص

خطوات حل المعادله التربيعيه *the quadratic equation*

• لابد من وضع المعادله التربيعيه علي الصوره الصفريه
• نفك الاقواس المختلفه ان وجدت 
• نحلل الطرف الايمن باستخدام احدي طرق التحليل السابقه  ( اخراج العامل المشترك و المقدار الثلاثي البسيط و المقدار الثلاثي غير البسيط و المقدار الثلاثي المربع كامل

و الفرق بين مربعين ) 

 أمثلة تطبيقه علي حل المعادلات التربيعيه 

أوجد حل المعادلات * equation *  التالية

1. س2 - 5س = صفر      أوجد حل المعادلة 

  حل المعادله التربيعيه    س  (  س  - 5) = صفر

  اما                             او

  س= صفر                     س - 5 = صفر  ومنها س = 5

مجموعة حل المعادله =  < صفر و 5 > 

2. س2 - 25 = صفر    أوجد حل المعادلة

     حل المعادله التربيعيه  (  س  - 5) (  س  + 5) = صفر

   اما                                                        او

س-5 = صفر  ومنها س= 5                          س + 5 = صفر   ومنها س = -5

مجموعة حل المعادله =  < 5 و -5 >

3. س2 - س - 20 = صفر    أوجد حل المعادلة

    حل المعادله التربيعيه (  س  + 4) (  س  - 5) = صفر 

  اما                                                         او

س + 4 = صفر  ومنه س= -4                       س - 5 = صفر   ومنها س = 5

مجموعة حل المعادله =  < -4 و 5 >

4. 2س2 + 7س - 4 = صفر         أوجد حل المعادلة           ( 2 س  - 1)       1س

                                                          (  س  + 4)         8س    بالطرح   7س

حل المعادله التربيعيه   ( 2 س  - 1)  (  س  + 4)  = صفر 

   

    اما                                                       او

  2س - 1 = صفر ومنها س = 1 / 2                 س + 4 = صفر     ومنها س = -4

 مجموعة حل المعادله =  < -4  و  1 / 2 >

5. 2س2  + 10س  = -12          أوجد حل المعادلة 

   حل المعادله التربيعيه   2س2  + 10س + 12 = صفر         نخرج العامل المشترك

   2 ( س2 + 5س + 6 )  = صفر           مقدار ثلاثي بسيط

   2 ( س + 3 )  (  س  + 2)  = صفر

       اما                                                   او

      س + 3 = صفر  ومنها س = -3               س + 2 = صفر ومنها س = -2

    مجموعة حل المعادله =  < -3  و  -2 >

6. (س  - 3)  (  س  + 1)  = 5          نفك الاقواس          أوجد حل المعادلة

     حل المعادله التربيعيه   س2 - 2 س - 3 = 5

     س2 -2 س - 3 - 5 = صفر

     س2 - 2 س - 8 = صفر

   (  س  + 2)  (  س  - 4)  = صفر

    اما                                                    او

  س + 2 = صفر ومنها س = -2                 س - 4 = صفر      ومنها س = 4

    مجموعة حل المعادله =  < -2  و  4 >

تطبيقات علي حل المعادله من الدرجه الثانيه

ملاحظات هامه

1. عدد   نفرضه = س
2. ضعف العدد           نفرضه ب 2 س
3. ثلاثة أمثال العدد      نفرضه ب 3 س
4. أربعة أمثال العدد     نفرضه ب 4 س
5. نصف العدد           نفرضه ب 1 / 2 س
6. معكوسه الجمعي     نفرضه ب  - س
7. معكوسه الضربي    نفرضه ب 1 / س 
8. مربع العدد             نفرضه ب س2
9. ضعف العدد           نفرضه ب 2س2
10. ثلاثة أمثال مربعه    نفرضه ب  3س2
11. مربع ضعفه                      نفرضه ب 4س2
12. مربع ثلاثة امثاله                نفرضه ب 9س2
13. عددان مجموعهم = 3          نفرض العدد الأول س  والعدد الثاني 3 - س
14. عددان الفرق بينهما= 7        نفرض العدد الأول س  والعدد الثاني س - 7
15. عددان النسبه بينهما 4 : 5     نفرض العدد الاول 4س والعدد الثاني  5س
16. عددان يزيد احدهما علي الاخر بمقدار 6    نفرض العدد الاول س والعدد الثاني س + 6
17. عددان صحيحيان متتاليان     نفرض العدد الاول س والعدد الثاني  س + 1
18. عمر رجل الان س سنة      عمره بعد 5سنوات = س + 5   عمره بعد 7 سنوات = س - 7

أمثلة علي تطبيقات حل المعادله من الدرجه الثانيه 

• عدد صحيح اذا أضيف الي مربعه كان الناتج = 56 اوجد العدد

       حل المسألة    نفرض أن هذا العدد = س  ومربعه = س2

         س2 + س = 56

         س2 + س - 56 = صفر

         (س  - 7)  (  س  + 8)  = صفر

          اما                                                     او

      س - 7 = صفر ومنها س = 7                       س + 8 = صفر ومنها س = -8

      العدد 7  او  -8

• أوجد العدد النسبي الموجب الذي يزيد مربعه عن ضعفه بمقدار 48

       حل المسألة  نفرض أن هذا العدد = س    مربعه = س2     ضعفه = 2س

      س2 - 2س = 48

      س2 - 2س - 48 = صفر

      (س  + 6)  (  س  - 8)  = صفر

       اما                                                                                 او

     س + 6 = صفر  ومنها س = -6 وهذا العدد مرفوض  س - 8 = صفرومنها س = 8

    العدد الموجب هو 8

• مستطيل يزيد طوله عن عرضه بمقدار 4 سم   وكانت مساحته 21 سم مربع  اوجد بعديه

      حل مساله رياضيات  نفرض ان العرض = س  و الطول = س + 4

       مساحة المستطيل = الطول × العرض 

                21          = (س  + 4)  × ( س ) 

       س2 + 4س - 21 = صفر

       (س  - 3)  (  س  + 7)  = صفر

             اما                                                     او

    س - 3 = صفر ومنها س = 3                           س + 7 = صفر ومنها س = -7

    العرض = 3 سم        الطول س + 4 = 3 + 4 = 7

• أ ب ج مثلث ق زاويه أ = س2 + 61  و ق زاوية ب = 110 - 11س و ق زاوية ج = 90 - 7س اوجد قيمة س وقياسات زويا المثلث

     حل مساله رياضيات   ق زاويه أ + ق زاويه ب + ق زاويه ج = 180

    س2 + 61 + 110 - 11س + 90 - 7س = 180

    س2 - 18س + 61 + 110 + 90 - 180 = صفر

    س2 - 18س + 81 = صفر

    (س  - 9)  (  س - 9)  = صفر

    اما                                                      او

   س - 9 = صفر ومنها س = 9                     س - 9 = صفر ومنها س = 9

   ق زاوية أ = س2 + 61 = 9 × 9 + 61 = 142 درجه

   ق زاوية ب = 110 - 11س = 110 - 11 × 9 = 11 درجه

   ق زاوية ج = 90 - 7س = 90 - 7 × 9 = 27 درجه